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開本:25開/平裝/488頁
ISBN:4712966621804

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★從已知推算未知的「茶壺原理」

  在數學裡,有一個有用且常用的解題法,叫做「茶壺原理」,這可和清末明初國學大師辜鴻銘先生的「茶壺理論」無任何關聯。話說有一位工程師和一位數學家,同時被要求解答下列問題:

 問題A:在廚房地板上,有一個空的茶壺,請提供一個方法,煮一壺開水來泡茶。

工程師回答:把茶壺提起來,打開水龍頭裝滿水,將茶壺放在爐子上,點燃爐火,靜待水被燒開;數學家說:我的方法也一樣。

接著,他們被要求解答下列問題:

  問題B:爐子上放著一個茶壺,裡面裝滿水,請提供一個方法,煮一壺開水來泡茶。

工程師回答說:點燃爐火,靜待水被燒開;數學家說:把茶壺從爐子上提起來,把茶壺裡的水倒光,再把空的茶壺放在廚房地板上,於是,問題B就化成已經知道怎樣解答的問題A了。

  這雖然是一個笑話,但是把待解答的問題化成已經解答的問題,卻是在數學、科學裡,甚至在生活裡,有用而且常用的方法,這就是「茶壺原理」。

★從數學家的思維出發


讓我再多說一點,和上述笑話類似的例子還有很多。比方,林先生有一位從香港來的朋友,打電話問林先生如何從臺北火車站到101大樓?林先生詳細地一步一步為他說明如何坐捷運、轉公車、再走路,果然一切順利。

第二天,香港朋友又打電話問他如何從東區誠品到101大樓,林先生說您就坐計程車從東區誠品到臺北火車站,在臺北火車站再按照我昨天告訴您那條路線走就對了。這就是把一道待解答的問題,化成一道已經知道如何解答的問題,關於箇中奧妙,我就不用再多費唇舌了,這就是「茶壺原理」。  

有人問一位老先生:「您今年貴庚了?」老先生說:「我40歲時,我的小兒子出生。」那人繼續問:「那麼您小兒子今年幾歲了?」老先生答:「他比鄰居的張博士小5歲。」「那麼張博士今年幾歲了?」老先生答:「張先生屬狗,剛從美國拿了博士學位回來。」假設今年是2012年,屬狗的是78、66、54、42、30、18或者6歲,所以,張博士應該是30歲,老先生的小兒子是25歲,老先生是25+40=65歲。

  在這個問題當中,我們先把老先生是幾歲的問題,化成他小兒子是幾歲的問題,再把他小兒子是幾歲的問題,化成張博士是幾歲的問題。當我們找出來張博士是幾歲,就可以解答小兒子是幾歲,然後就可解答老先生是幾歲了。

  上述例子指出應用「茶壺原理」的兩個要點:第一、我們先把一道待解答的問題,化成另一道待解答的問題;第二、最終我們要把一道待解答的問題,化成另一道已經知道如何解答的問題。這兩個要點也可以用兩句成語來描述:第一、前事不忘,後事之師;第二、飲水思源,可不是貼切得當嗎?

神奇的定律

科學的研究有理論和實驗兩個相輔相成的層面,理論是一個模型,加上數學的公式,可以用來描述物理、化學或者生物裡的真實現象;實驗則是經由觀察這些真實現象,獲得數據來驗證理論上的模型。科學上有很多例子是先有理論,然後再從實驗裡得到驗證的數據。譬如愛因斯坦在1916年提出的廣義相對論裡指出,光線會被重力扭曲,但是一直等到3年之後,1919年5月29日,當在非洲和南美洲可以看到日全蝕的時候,才獲得驗證的數據。(英國的亞瑟‧愛丁頓在當天觀測了日全蝕,發現太陽附近的星星位置確實會產生視覺上的偏差,證明了愛因斯坦的推論。)

★80/20法則

19世紀義大利經濟學家帕雷多(Vilfredo Pareto)提出了現在被大家叫作「帕雷多法則」或者「80/20法則」的經驗法則。帕雷多研究當時義大利人民財富的分配時,發現大部分的財富分配在少數人的身上,比較精準的說法是,他發現全義大利80%的財富,集中分配在20%的人身上。後來,他對其他國家財富的公布做了相同統計,也發現這個80/20法則是相當準確的。按照聯合國1989年的統計,全世界最富有的20%人口的生產總值是全世界的82.7%,他們在自己國內的儲蓄是全世界的80.6%,他們在自己國內的投資是全世界的80.5%。

我們只知道這個80/20的分配,卻沒有一個模型或者方程式可以用來解釋怎麼導出80/20這個結果。後來,美國的管理大師朱蘭(Joseph Juran)沿用帕雷多的觀念,提出在管理學上的80/20法則,也就是80%的結果來自20%的力量。譬如說,在一個企業裡,80%的成果來自20%菁英員工的貢獻;上班時,20%的時間用來做80%需要做的事情,剩下來的80%的時間就花在無關重要的事情上了;生產線上,80%的錯誤來自20%的工作點。不過,漸漸地「80/20法則」也被濫用,失去了數值上的精準性。

用一個例子來驗證班佛定律:假設我們有100元存在銀行裡,每年利息10%,按複利計算,如果我們把25年內每年在銀行裡存款的數據列出來,我們可以看到從100元到200元要花7年多的時間,所以有7個數據的第一位數字都是1;但是,從500元到600元只要花2年的時間,所以只有2個數據的第一位數字是5;從900元到1000元只要1年多一點的時間,所以只有1個數據的第一位數字是9,這又驗證了班佛定律。

★班佛定律

100年前物理學家班佛(Frank Benford)發現的定律,叫作「班佛定律」。這個定律說,假設找出1,000個人,請每一個人隨手寫下一個四位數,這些四位數的第一位數字可能是1,也可能是2,是3……是8,是9,這其中會有多少個是1?多少個是2?……多少個是8?多少個是9呢?一個直覺的答案是──應該是相當平均地分布吧!九分之一是1,九分之一是2……九分之一是9吧!因為這1,000個四位數是完全隨機選出來的。但是,當班佛分析許多從真實生活裡搜集得來而不是隨機選出來的數據時,例如不同河流的長度、不同城市的人口、不同股票的股價,他發現在許多數據裡,第一位數字的分布並不是均勻的。

他提出一個公式,用來計算第一位數字的分布,按照他的公式計算出來的結果:第一位數字是1的機率是30%,是2的機率是17%,是3的機率是12%,一路遞減,是8的機率只有5%,是9的機率只有4.6%;換句話說,在這些數據裡,大約三分之一數據的第一位數是1;大約三分之一數據的第一位數是2或3;大約三分之一數據的第一位數是4、5、6、7、8或9。當我們看第二、第三或第四位數字的時候,它們從0、1、2、3……到8、9的分布倒是相當平均,每個數字出現的機率都大約是十分之一。我相信很多人的第一個反應是:這聽起來有點奇怪、不可思議,甚至和直覺相違背。但班佛定律經過反覆驗證,很多數據都是相當正確的。

 
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