費馬最後定理(CK0004)
Fermat

類別： 自然‧科普‧數理>數學
叢書系列：科學人文系列
作者：阿米爾．艾克塞爾
       Amir D. Aczel
譯者：林瑞雲
出版社：時報文化
出版日期：1998年10月27日
定價：200 元
售價：158 元(約79折)
開本：25開／平裝／156頁
ISBN：9571326488

【自序｜書摘 1｜導讀】

▼  書摘 1

第1章　尋找美妙證明

1993年6月23日，破曉時刻，普林斯頓大學教授康威（John Conway）走近幽暗的數學大樓，打開了大門，匆忙地走進辦公室。自從同事懷爾斯去了英國後，數週來傳聞不斷，瀰漫著全球數學界。康威預料會有重大事情要發生了，至於到底是什麼事，他卻又毫無概念。他打開電腦，注視著螢幕。由大西洋彼岸傳來的電子郵件，在螢幕上閃現了簡單的幾個字：「懷爾斯證明了費馬最後定理。」

1993年6月，劍橋

1993年6月下旬，安德魯．懷爾斯教授應邀飛回英國，回到20年前他在此當研究生的母校，劍橋大學。他在劍橋的論文指導教授科茨（John Coates）當時正在籌備一個有關岩澤理論（Iwasawa theory）的研討會，這個屬於數論範疇的理論，恰好是懷爾斯博士論文所鑽研的內容，因此他對這個領域可說是知之甚詳。科茨希望這名愛徒能在會中發表由他自行選擇題目的1小時專題演講。令他和其他會議籌組者驚奇的是，這位一向不願在大眾之前說話的懷爾斯，居然反過來要求發表一場長達3小時的演說。

白襯衫、半挽的衣袖、厚鏡片寬邊眼鏡配上稀落不整的頭髮，40歲的懷爾斯看起來和一般數學家沒什麼兩樣。出生於劍橋的他，這次返鄉，實際上是要來圓一個孩提時的夢。為了追求這個夢想，他在自己的閣樓中近似閉關地鑽研了7年。而他希望這段奮鬥與犧牲的孤獨過程即將結束，從此他可以多陪陪與自己7年來聚少離多的妻女。他經常未和家人吃午飯，錯過下午茶時間，也鮮少共進晚餐。而現在，他將集榮耀於一身。

劍橋的牛頓爵士數學科學研究中心，是在懷爾斯發表這場3小時演說之前不久才開始啟用。整個中心是一棟宏偉的建築，離劍橋大學有一段距離，環境優美。在演講廳外四周，置有舒適的絲絨座椅，以便於學者或科學家從事非正式的心得交換，提升學術及知識。

雖然懷爾斯認識與會的許多世界各地的數學家，但他刻意地不與這些人打交道。當同僚問起懷爾斯所需的演講時間為何如此之長時，他只淡淡地回應：請大家務必到場聽演講，便可得到答案。這種神秘兮兮的態度，即便在數學家之中，也顯得非比尋常。數學家常獨立作業，以試圖證明定理，所以其實也不怎麼合群，但通常他們還是會在正式發表成果之前，以一種非正式方法或影印本來與他人分享研究成果。這種分享往往可引發一些評論，有助於在論文正式發表時改進其內容。但這回懷爾斯並沒有印發論文，也不討論他的研究。由他的講題「模型式、橢圓曲線、伽羅瓦表現」中也看不出什麼端倪，就連他本行之內的專家也猜不出來。隨著時間流逝，傳言也甚囂塵上。

演講的頭一天，懷爾斯向到場的20多位數學家提出一些有力且意外的數學結果－－而且提醒他們尚有兩次演說。接下來會說些什麼呢？非常明顯，答案就在懷爾斯的演講中。與會的數學家一窩蜂地湧入他的演說會場。隨著人數的增加，懸疑氣氛更濃了。第二天，懷爾斯的演講內容緊湊了起來。他準備了2百頁的講稿，內容包括公式及推導過程、原創性的想法以及冗長與抽象的證明。演講會場已經爆滿了，每個人都專心聆聽。究竟這篇演說會出現什麼結論？懷爾斯隻字不提，只是平靜地寫與講。一等當天的內容講完，懷爾斯便片刻不留地匆匆離開。

第三天，1993年6月23日星期三，最後一場演說要開始了。當他走近演講廳時，懷爾斯發現自己都得推擠著進入會場。聽眾已是人滿為患，擠到了演講廳外，堵住了進出通道，很多人還帶著照相機。室內，懷爾斯仍舊在黑板上寫著看來像是沒完沒了的公式與定理。氣氛愈加緊張。加州大學柏克萊分校的教授里貝特事後對我說：懷爾斯的演說只有一個可能的高潮，一個可能的結論。懷爾斯正在證出一個數學上非常難解的問題－－谷山志村猜想。突然間，他添加最後一行，重寫了一個有數世紀歷史的方程式－－那是里貝特於7年前所證得的此猜想的推論結果，「而這就證明了費馬最後定理。」他突然說道，「我想我應該就此打住。」一陣錯愕與沈寂之後，觀眾們發出熱烈的掌聲，並趨前向他祝賀，鎂光燈閃個不停。數分鐘內，電子郵件便把這個消息傳播到世界各地。有史以來最有名的數學難題被懷爾斯解決了。科茨教授連作夢都想不到，他籌辦的這次研討會竟締造出如此驚人的成就。他事後回憶道：「意想不到的是，隔天全世界各大媒體對我們投以的注目。」世界各大報都以頭版頭條方式報導了這個意外的突破。《紐約時報》6月24日的頭版即寫著：「古老的數學謎題終於找出解法了。」《華盛頓郵報》則在一篇主要報導中稱懷爾斯為「數學屠龍手」。有連篇累牘的報導都在介紹這位解出困擾了數學界350年之久難題的懷爾斯。一夕之間，沒沒無聞的他成了家喻戶曉的人物。

皮耶．德．費馬

費馬（Pierre de Fermat）是一個17世紀的法國律師，也是一位業餘數學家。之所以「技術性」地稱費馬「業餘」，是由於他具有律師的全職工作。著名的數學史學家貝爾（E. T. Bell）在20世紀初所撰寫的著作中，稱費馬為「業餘數學家之王」。貝爾深信，費馬比他同時代的大多數專業數學家更有成就。17世紀是傑出數學家活躍的世紀，而貝爾認為費馬是17世紀數學家中最多產的明星。

費馬的卓越成就之一，就是在牛頓出生前的13年，已經提出了有關微積分的主體概念。牛頓以及同時代的萊布尼茲共同探討運動、加速、力、軌道以及應用數學上連續變化的理論，而這也是後世所稱的微積分。

費馬對古代希臘的數學研究相當著迷，而一種可能的說法是：他的微積分思想來自於古希臘數學家阿基米德（Archimedes）及歐多克索斯（Eudoxus）－－這兩位分別是西元前3、4世紀的人物。費馬一有空閒，就研讀古希臘著作（當時已被翻譯成拉丁文）。費馬是名全職的律師，但他的嗜好－－或可說是熱愛－－則是想辦法整理古希臘著作，並從這些埋藏已久的偉大發現中，尋找美麗的新定理。他曾說：「我發現過許多絕美的定理。」他同時也把這些定理寫在某些古書拉丁譯本的書頁空白處。

費馬的父親多米尼克．費馬（Dominique Fermat）是一位皮貨商，同時也是波蒙特－洛門地區的第二執政官。他的母親克萊兒．德．隆格（Claire de Long）則出身於國會法官世家。費馬於1601年8月出生（於8月20日在波蒙特－洛門受洗），而父母一心要栽培他成為地方首長。他幼年在杜魯斯求學，30歲時就任同一地的請願委員，同年與露薏絲．隆格（Louise Long）結婚，育有三子二女，其中一個兒子克雷門．山繆．費馬（Clement Samuel Fermat）成了他科研上的主要助手，並在費馬逝世後，整理出版了他的工作成果。事實上，這份出版品也就是今日聞名已久的費馬最後定理之出處。由於克雷門．山繆知道這個寫在頁邊的定理有何重要性，所以當他在重新出版古籍譯本時，特別把它加了進去。

費馬的一生常被描述為平靜、穩定且無事。他自重且誠實地從事他的工作，並於1648年成為杜魯斯地方議會的顧問要職－－直到1665年去世為止，他共任職17年。費馬終身忠誠勤懇地為王室所做的工作，使史學家非常訝異，何以他還會有如此多的時間與精力，締造這麼多超一流的數學成果。曾有一位法國學者認為，費馬的正職工作，其實是他從事專門數學研究的有利條件。為了避免受賄及其他腐敗行為，法國王室希望議會顧問能儘量少參加非官方的社交活動。既然費馬本人需要在繁忙的工作之外找個調劑，又必須簡化社交生活，數學無疑地提供了一個非常合適的機會。

微積分絕非費馬的唯一數學成就。他也帶給我們數論，而其中的一個重要概念就是質數。

．質數

數字中的1、2和3都是質數。 4=2x2 ，是2與2的乘積，所以不是質數。5是質數；6相同於4，等於2與3的乘積，因此也不是質數。7又是質數，8不是，9不是，10也不是，11又是，因為11除了1和本身以外，沒有其他正因數。繼續這樣判別下去，12不是，13是，14、15、16都不是，而17又是……。事實上，質數在整數中出現的模式，到目前為止，還沒有找到明顯的結構性（例如將數字依序排列，4個一組，每組第四個都不是質數，或是有其他更複雜的模式）。這個事實由遠古至今一直困惑著人類。質數是數論中的一個基本成員，但也由於欠缺容易覺察的特質，方使數論成為似未系統化的領域，題目孤立且深奧難解，與數學其他領域也沒有明顯的關連。就巴里．梅哲的說法，數論輕易地就產生了數不清的問題。這些問題都散發著甜美無邪的香氣，宛若引人的花朵；然而數論的四周也同時停滿了小蟲，欲伺機叮咬那些受誘的愛花之人。而只要一被叮咬，便會沈迷於數論，不能自已。

．著名的頁邊筆記

費馬對於數字深深著迷，他常能感覺到數字之美與意義。他找到一些數論中的定理，其中之一為：凡具有形式的數都是質數。但後來有人發現對某些值（例如n=5）而言，不是質數，也因此證明了這個命題是假的。

在費馬珍藏的古籍拉丁譯本中，有一本命為《算術》（Arithmetica）的書，其作者是希臘的數學家狄奧幻特斯（Diophantus，約是公元3世紀的亞歷山卓人）。大約在1637年，費馬以拉丁文在這本狄奧幻特斯著作中的畢氏定理論證附近寫下了：

「另一方面，一個數字的立方不可能表示成兩個立方數的和，一個四次方數也不能表示成兩個四次方數的和；或者更概括性地說，除了平方之外，一個 n 次方數不能表示成兩個 n 次方數的和（Xⁿ＋Yⁿ＝Zⁿ）。我已經為這個命題找到了一個非常美妙的證明，然而這裡的篇幅不足以讓我寫下這個證明。」

就是這個神秘兮兮的宣示，讓往後幾個世代的無數數學家，忙於提供這個被費馬稱之為「美妙的證明」。表面上，Xⁿ＋Yⁿ＝Zⁿ 在n≧3時沒有整數解，這個敘述看起來很簡單，但絕不容小覷。費馬所說的其他定理，全都已在19世紀初葉左右被證明或推翻了。只有這個看似簡單的敘述，依然沒有人搞定，也因此被冠上了「費馬最後定理」的名字。究竟這個定理是不是真的呢？本世紀有人試圖用電腦來驗證這個定理；基本上電腦可以驗算到相當大的數字，但仍無法驗算所有數字，這便是困境之所在。即便這個定理對幾十億個數字而言是成立，但在幾十億的後面，仍有無窮多的數字以及次方需要驗證。所以要宣稱這個定理有效，就需要一個數學上的證明。19世紀時，法國與德國的科學院都提供了巨額的獎賞，徵求這個定理的證明。而每年也都有成千上萬的專業及業餘數學家，寄來千奇百怪的「證明」方法到數學期刊及評議會，但結果都是無功而返。

．1993年7－8月：致命的漏洞

當懷爾斯在6月的那個星期三步下講台時，數學家均抱持審慎的樂觀態度。350年的謎團，似乎終於被破解了。懷爾斯所用的理論及符號，有許多是費馬時代從未聽聞的，有些甚至到20世紀才出現。這些理論尚需經過專家認證，因此證明便被送到許多頂尖數學家手中。也許懷爾斯 7 年來的隱居苦幹終於可以得到回報。但這種樂觀現象並未持續多久，數週內，懷爾斯的邏輯即被找出了漏洞，他試圖彌補，但都徒勞無功。普林斯頓數學家彼得．薩納克（Peter Sarnak）看著摯友懷爾斯鎮日痛苦地面對自己在兩個月前於劍橋向全世界發表的證明，他解釋道：「看起來，懷爾斯像是想把一塊超大的地毯鋪在房間的地板上。鋪好了這一邊，房間另一邊的地毯會捲貼上牆壁；到了另一頭，把地毯拉回地面，房中某一處的地毯又會拱起來。而這塊毯子到底是否適合這個房間，他根本無法裁決。」懷爾斯再次回到他的閣樓。《紐約時報》以及各大媒體的記者也都暫時不去打攪他，任他孤寂地工作。然後，日子一天天地過去了，證明始終未現的結果，再度使數學界及一般大眾開始懷疑，費馬定理究竟是不是真的。懷爾斯向全世界宣示的漂亮證明，就有如費馬那項「非常美妙，但頁邊篇幅無法容納的證明」一般，是虛無縹渺的。