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全等三角形

全等三角形是以三角形的大小、形狀、邊長以及角度的大小來決定。三個邊要構成三角形，必須如圖所示：

最長的一個邊（c）＜其他兩個邊的和 （a＋b）。

這是一個必要條件。符合了這個條件，則三角形可以用下列方式來決定其大小與形狀：
(1) 由三個邊長來決定。
(2) 由兩個邊長與其夾角大小來決定。
(3) 由一邊長及兩端夾角大小來決定。

依據上述三角形大小與形狀的條件，要進一步確認兩個三角形是否為全等三角形的話，只要再合乎下面的任何一個條件就可以了：

但若是直角三角形的話，只要斜邊與另一個邊各自相等，或是斜邊與一銳角各自相等，就是全等三角形。

全等四角形

接下來談到四角形。一個四角形可以分成兩個三角形，因此只要依序確認這兩個三角形，四角形的大小與形狀也就能夠確定了。

決定四角形的大小與形狀的條件有：
(1) 三個邊長及其中兩個夾角的大小。
(6) 三個夾角的大小及其間的兩個邊的長度。
(3) 兩對角線交叉夾角及其交點所對應線的長度。

所以，要確認兩個四角形是否為全等四角形，只要合乎以下任何一個條件就可以了：

全等多角形

這類多角形的全等需要符合下列兩個條件：

若要證明全等，可以先將多角形分成幾個三角形，然後再運用全等三角形的條件來證明即可。

＊ ＊ ＊

「愛麗絲，我已經將三角形、四角形等等的全等條件說明完畢，是不是都懂了？」

「嗯，應該都懂了。」

「雖說三角形或四角形都是多角形，但是我剛才說過的多角形全等條件，並不能應用在如右圖的非多角形圖形。」

「那麼應該怎麼做呢？」

「嗯，不能適用也沒有關係。在作數學的時候，有時也會碰到一些曖昧的地方，這時可以利用變換的思考方式來處理。」

什麼是變換？

「變換？什麼叫做變換呢？」愛麗絲從來不曾聽過這個詞。

「所謂變換，就是指平面上全部的點按照一定的規則（即相互對應的關係，也就是對應點），可以與另一個平面上全部的點有一對一的關係。簡單的說，就是能夠將一個平面圖形按照一定的規則移到另一個平面圖形上。」

「這麼說，心地不好的王后所用的鏡子所反射出來的圖形也是一種變換？」

「不錯，當變換的圖形與原來的圖形全等的時候，這種變換就叫做全等變換。如果變換後的形狀一樣，但是大小不同，變成放大或縮小的形狀（相似形），這種變換就叫做相似變換。而鏡子反射出來心地不好的王后就是全等變換。」

「原來如此，這麼說來，不但有全等變換，也有相似變換囉？」

「那當然。除了全等變換與相似變換之外，還有其他許多不同的變換。我舉一個舞台的腳燈為例來說明什麼叫做變換。」

路易斯老師在黑板上畫圖後繼續說明。

「在透明玻璃板α貼上能透光的紅色圓形薄紙，然後放在平面β上面，並讓光線從上方照下來。姑且不考慮薄紙的厚度，投影在平面β上的圓形圖，與玻璃板上的圓形圖應該是全等圓形對吧？」

「不錯。」

「疊在平面β上的玻璃板，不論是前後左右平行移動，甚至旋轉或翻轉，投影在平面β上面的圓形圖，絕對與玻璃板上的圓形圖為全等圓形。」

「那當然。」

「所以說，能夠進行平行移動、旋轉以及翻轉等這三種移動方式，圖形卻不會有任何改變，就叫做全等變換。」

「對於全等變換，我已經很清楚了。」

「那麼，接下來把玻璃板α拿到平面β的上方，維持與平面β平行，則投影在平面β上面的圓形圖，會比玻璃板上的圓形圖還要大。」

「是的。」

「除了全等變換的三種移動方式之外，還可以加上放大（或縮小）的第四種移動的變換，叫做相似變換。」

「原來如此，全等的條件加上放大、縮小後，就變成相似了。」

「嗯，大體上可以這麼說。」

路易斯老師還想多做一些說明。

「愛麗絲，我們可以繼續了嗎？」

「嗯，請說吧！」

「接下來，如果一樣把玻璃板α拿到平面β的上方，但不是與平面β平行，而是有些傾斜的話，則投影在平面β上面的圖形就不是圓形，而是橢圓形（圓的兩個交叉的垂直直徑，會有一個方向變成放大或縮小）。」

「橢圓就是從圓柱體或圓錐從斜面切開的切口對吧。」

「愛麗絲懂得真多。這個切開面確實是個橢圓。舉例來說，像左圖將圓形x²＋y²＝a²的半徑y縮小為 ，假設變換後的新座標為（X、Y），由於X＝x，Y＝y × ，將圓形（x、y）以x＝X，y＝Y× 代入的話，就成為：X²/ a² + Y²/ b² = 1 ，亦即x²/ a² + y²/ b² = 1

這就是長軸a、短軸b、以原點為中心的計算橢圓的公式。」

「咦，圓形與橢圓形有親戚關係呀！」

對於愛麗絲來講，這是一項新鮮的發現。

「接下來就是將愛麗絲所說的圓柱切開面展開的話，原來橢圓的曲線 A 可以變成如右圖的正弦曲線（sinθ 的曲線 B）。而且因為橢圓形是圓形的放大或縮小，因此只要將計算圓面積的 π a2 其中一個 a 換成 b，就可求橢圓的面積：

「路易斯老師，這種問題對我來講太難了吧！」

「對不起，對不起！因為愛麗絲的理解力很強，以至於忘了妳還只是個小孩子呢！我們這就回到原來的話題上吧。從圓形變成橢圓形的變換叫做仿射變換，也就是除了相似變換的四種移動方式之外，再加上『傾斜』的移動方式，所以仿射變換一共可以有五種移動方式。」

「仿射是什麼意思呢？」
「仿射就是類似的意思，所以仿射變換也可以說就是類似變換。」
「什麼？類似變換？就像我的臉變成伊黛絲的臉那樣？」

「不錯，就是那樣。愛麗絲，我要繼續說明下去喔！如果將透明玻璃板上的紙片換成三角形，將投影在平面β上面的圖形與玻璃板上的圖形作比較的話，就會發現下列的現象：

全等變換就是在相似變換的特殊情形下，相似比為1時的相似變換。」

「原來如此。」

「而相似變換就是在仿射變換的特殊情形下，兩個平面平行時的仿射變換。

接下來，平面β上面的任何橢圓，只要放在平面β的適當位置，則平面α上面的圓可以依照類似變換正確的投影在平面β上。此時，從正上方照射下來的垂直光線所出現的影像就叫做正射影。

愛麗絲，妳肚子大概也餓了，而且蛋糕與紅茶也都準備好了，我看今天的課業就上到這裡好嗎？」

「當然好啦，我舉雙手贊成。」

對愛麗絲來講，有關變換的課程這還是第一次上，要她一下子理解，的確不容易。

「碰到困難的問題要樂觀處之，先用筆畫個底線將它做個記號吧。」

路易斯老師認為愛麗絲面對困難問題的態度以及思考邏輯都非常好。

＊　＊　＊

「接下來，今天的作業就是跟變換有關，但有點不同的拓撲學（Topology）問題。」

「愛麗絲，只要注意到頂點、面與邊的個數就簡單了。」

愛麗絲的思考方式與答案

就像汽球一樣，可以伸縮自如的圖形，無論往那個方向伸、縮，圖形雖然會變，但只要把點與線（泝與沴的點與線的連接方向都與沊不同）看成一樣的話，則正方形（多角形或圓形也是）同樣是由一條線圍起來的圖形。依據這個想法再計算一下頂點與面的個數，則：

（1）有4個頂點與4個面，所以答案就是（b）三角錐；
（2）有6個頂點與5個面，所以答案就是（e）三角柱。