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導讀：歡迎光臨數字樂園
導讀：歡迎光臨數字樂園／胡守仁（淡江大學數學系教授）
歡迎光臨數字樂園！雖然這是個古老的樂園，漫步其間依然是讚歎不絕，驚奇連連。
讓我們先走馬看花，逛逛這個樂園。數字樂園中最古老的把戲就是數數。數字在我們的生活中再平常不過了，幾乎自有記憶以來這些阿拉伯數字就如影隨行，然而從扳著手指數數，到確認這些能夠隨心所欲操弄的符號，可是個精采的故事。光是進位基底的數目，就經歷不少的嘗試與改變，直到今日，依然可見二進位、五進位、十二進位、二十進位、六十進位的痕跡。零的出現不僅讓數的表達與計算方便，更代表了人類對於數的概念更高層次的抽象化，引領數學「發明」了許多概念，例如負數、小數。
數完數之後，就要做算術了。阿拉伯數字來自印度，他們聲稱在吠陀經中找到算術方法，比起現在學校教的更為有效而快速，有些方法還真叫人拍案稱奇。在沒有計算機之前，算得快，算得準可是個了不起的本事。有段時間速算者是表演舞台的焦點，有些甚至受聘為歐洲核子研究中心的人肉計算機。人們也曾設計不少精巧的機械來做四則運算，而真正讓我們有效的計算複雜的乘法及除法，則是靠了對數的發明。然而能徒手計算出1到1,005,000的對數，精確到小數第七位，仍然讓人覺得不可思議。更別說計算到小數兩百位。是數中的名流，它是永不循環的無理數，它的小數展開完全沒有什麼規律可循。記憶的小數展開更是表演的好對象，一面記住的小數展開一面玩雜耍還是一項比賽呢！就算今天，還有人不斷地計算更多位數的，這可有個高尚的理由：測試電腦的處理容量，改進它的計算表現。
除了找尋越來越小的的小數位值，人們也找尋越來越大的質數。網路上的《網路梅森質數大搜尋》（The Great Internet Mersenne Prime Search）可說是最早的「分散式計算」計畫之一，目前連結了75,000部電腦，在這些電腦閒置時，使用它們的處理器來搜尋質數。搜尋質數又是為哪樁？這也有個高尚的理由：我們常用的密碼系統立足於整數相乘容易、分解困難的事實。我們需要大質數來確保安全。
縱使數學不是人人所愛，人們仍不免為一些益智謎題所吸引。從希臘神話中獅身人面怪獸提出的謎語到偵探小說，每當遇到一個謎題，我們的本能促使我們去解決它，直到達到目標。十九世紀初人們瘋迷七巧板，十九世紀末數字推盤也帶來了狂熱。幾年前，我們沉迷於數獨。魔術方塊的挑戰更是直到今日仍然熱絡，有單手的，有用腳轉動的，還有蒙眼的等等。然而最少到底需要多少步才能解決任意的魔術方塊呢？數獨方格中要先給出多少數字才有唯一的解？謎題不僅以神奇而簡潔的方式傳遞數學令人稱奇的內容，也常提出了許多深奧的數學問題。以好玩開始的問題，也能引起深度的探索。二十世紀初謎題專家杜德奈把三角形切成四片，重組為正方形，現在麻省理工的教授德緬推廣為分割一個多邊形，重新排列、相連而組成另外一個多邊形，如此一來，變形金剛豈不得以成真。
機率與統計的園地，更是驚奇連連。知道嗎？過去十屆世界盃足球決賽中有七屆至少有兩個球員的生日在同一天，巧合是吧！雖然說德國的樂透彩每一種數字組合中獎的機率是一千四百萬分之一，然而一九九五年和一九八六年有同一組數字中獎，詭異的巧合還是弊端？其實這個機率超過四分之一，嚇一跳吧。人的腦袋其實並不擅於了解隨機，機率的領域中充斥許許多多悖論和驚奇。我們直覺認為模式出現必有其因，很難相信這會是隨機的結果。當蘋果電腦推出iPod的隨機播放功能時，常有播完一首後，又重播同一歌手歌曲的現象，因而引起抱怨連連。想一想，既是隨機播放，每一首新播的歌都和先前播過的歌無關，出現一連串同一歌手的歌曲應該一點也不出奇。猜猜看，賈伯斯對這項抗議有什麼反應。
去到拉斯維加斯，總免不了試試手氣，我們是否真有機會打敗賭場？范恩的「隨機漫步」告訴我們賭徒破產是必然的結局。不過，一九六二年數學家索普（Ed Thorp）出版了《擊敗莊家》（Beat the Dealer）一書，發表了關於二十一點的算牌術，這本書不僅是賭博的經典書籍，更在經濟與金融界產生迴響，進而創造出財經市場的模型，並且將下注的策略應用其中。布萊克與休斯二人更創造出公式，指出如何訂定金融衍生產品的價格，這是華爾街最著名的公式。十六世紀時當卡丹諾（Girolamo Cardano）寫下《機遇遊戲之書》（The Book of Games of Chances）時，恐怕很難想像到這幅光景吧！
十九世紀統計學在機率論的基礎上發展起來。數學家龐卡瑞就由他購買麵包的重量，逮到麵包店偷斤減兩的證據。這正是現代消費者保護的理論基礎。商業標準部門為什麼能夠隨機抽取販售的商品樣本，就能判斷廣告是否不實？巨量的數據又如何檢驗是否偽造？
幾何園地幾乎和數字園地一般古老。歐幾里得以五個公理描述了這個美好而平坦的世界。龐卡瑞以圓盤為模型展示了一個奇特的世界，在我們的眼中，越靠近圓周，物體越變越小。然而其間的生物對此一無所知，依然生生不息。聽起來像是科幻小說中的空間，其實只需要更動歐幾里得的第五公理，讓過線外一點，有無窮多條直線通過該點並與此直線平行，得到的空間就和我們快樂生活的空間一樣真實，而上述的圓盤就是這個雙曲空間的模型，它像是經過了一個奇特鏡頭的扭曲。於是我們要問：到底如何將空間分類？而真實世界的雙曲面又是什麼樣子呢？電腦無法呈現它，因為希爾伯特證明了雙曲面無法由一個公式表示。然而，康乃爾大學的副教授泰米爾卻以鉤針織出了雙曲面，能在上面畫出可以摺成褲子一樣的正八邊形，也能顯示極限圓的樣子。古老的樂園還真充滿驚奇。
比較東西的多寡是進入數字樂園最早碰到的一個把戲。我們的概念中，一部分的東西當然要比全體的少。然而，當我們踏入有著無限多間房間的希爾伯特大飯店，明明客滿的飯店，多來了一個客人，能給他找出一間空房，多來兩個沒問題，就算來了一個、兩個、三個……無窮多的客人，也沒什麼好怕的，即使來了一輛、兩輛、三輛……無窮多輛遊覽車，每輛上有一位、兩位、三位……無窮多位客人，全部入住也不成問題。全部真的比部分多？比大小到底是怎麼一回事？似乎還有我們想不到的花樣。當我們踏入十九世紀康托建立的樂園，驚奇地發現我們可以無窮地比較無窮，無窮不只是數也數不完，它還有等級之分。整數、有理數是一樣多的無窮，實數卻是比他們還多的無窮。豈能不瞠目結舌！
多麼奇特的數字樂園，再一次，歡迎光臨！
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