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宇宙的數學圖形:啟發靈感、訓練邏輯,用色彩填滿抽象幾何的遊戲
數字奇航

數學

【類別最新出版】
翻轉你的數學腦:數學如何改變我們的生活
一小時看懂大數據
誰說不能從武俠學數學、物理、化學?【全三冊】
數學的故事
跟著網紅老師玩科學:十分鐘搞懂數學、物理及生活科學


翻轉你的數學腦:數學如何改變我們的生活(KA01103)
Plussen en minnen:Wiskunde en de wereld om ons heen

類別: 自然‧科普‧數理>數學
叢書系列:知識叢書
作者:斯蒂芬.布伊斯曼
       Stefan Buijsman
譯者:胡守仁
出版社:時報出版
出版日期:2021年10月08日
定價:360 元
售價:284 元(約79折)
開本:25開/平裝/256頁
ISBN:9789571394749

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導 引內文摘錄



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第三章 沒有數字的生活(摘錄)

在蔚藍的天空下,有個人正駕著船,沿著亞馬遜雨林心臟地帶的邁西河(Maici)順流而下。河岸上有個小部落,幾乎從未與外面的世界有過接觸。這個人每年都會來一次,希望帶回去盡可能多的巴西堅果、橡膠和其他的天然物產。他的船上照例滿載著威士忌、菸草,還有更多的威士忌,來做交易。

和皮拉罕人(Piraha)做生意是一種挑戰。他們和外界做了200年的生意,仍然只懂幾句葡萄牙語。幸運的是那已經足夠讓這個人得到自己想要的東西:價值不菲的巴西堅果和橡膠,其價格足以讓其他商人妒羨不已。然而,價格差異幅度極大,有時候皮拉罕人用一桶巴西堅果交換一根香菸,有時候一小把的堅果就要價整包煙草。除此之外,事情很簡單,皮拉罕人從他的船上挑選貨物,直到他開始抗議為止。

皮拉罕人用完全不同的態度看待交易。雖然巴西商人搞不清楚他們的威士忌或菸草價值多少,皮拉罕人卻不認為這有什麼問題。他們沒有數字的概念。他們不用固定的價格,因為他們不知道怎麼做。他們也看不出有什麼理由要這麼做,但是他們心裡對不同的商人有著清晰的印象。他們知道哪一個誠實,哪一個總是想少付一點。

這些都是丹尼爾‧艾弗列特(Daniel Everett)的發現,他是一位美國的研究人員,曾在皮拉罕人中住過好多年,是極少數能說皮拉罕語的外來人。艾弗列特發現皮拉罕語中沒有數字。他們有時候談及一個大約的量,卻甚至沒有「一」這個字(他們也沒有「紅」這個字,還有表達完成式的方法)。這使得皮拉罕是極少數完全不使用數學的文化。他們的語言(就像很少數的其他語言)沒有關於直線、角或其他幾何概念的詞。由於數學的存在只有5,000年,這個特殊的社會提供了關於我們的過去獨特的一瞥。

這樣一來,我們的文化和皮拉罕文化之間就有著巨大的差異。他們並不在意記錄東西的價值,知道現在的時間,或者有沒有足夠的錢撐到月底。他們沒有貨幣,而是以貨易貨。這一切之所以可能,是因為他們的群體很小。每個人彼此相識,只有活著的人才重要。他們也不追蹤家譜;一個人若是死了,一旦所有認識他的人都死了,他也就被遺忘了。皮拉罕人的生命只聚焦當下的時空。

在這樣一個文化中,對數學並沒有什麼需求。在皮拉罕人的堅持要求下,有段時間艾弗列特嘗試要教他們數學,卻徹底失敗了。八個月的時間,每天艾弗列特教他們數字和幾何形狀,要他們畫一條直線,或者把1到5依序排列。然而,那段時間內,他完全教不會他們任何數學知識。

他們只是沒有學習數學的能力?或許他們還是行的,可是皮拉罕人對於外來的知識似乎不感興趣。他們不相信問題的答案會有對有錯。當艾弗列特提示數學問題的答案可能不對時,他們畫一些符號,或隨便寫下幾個數字。有時候,他們完全不理數學,逕自談論那天發生的事。就算叫他們連著畫兩條直線,對他們而言也算太超過了。

聽起來很像以前我自己的數學課,除了皮拉罕人是自願上課的。雖然在數學的學習上沒有什麼進展,艾弗列特總是會做些爆米花,這是讓大家聚在一起,知道彼此近況的好機會。或許這和我高中的時候沒什麼太大差別。

一個距離皮拉罕很遠的島

這個世界上只剩下很少的文化不使用數學,皮拉罕是個極端的例子,他們根本沒有數字相關的詞。但是在巴布亞新幾內亞(Papua New Guinea),有一些部族是有那些詞語,不過幾乎不使用。他們沒有用到數學,卻也生存下來了。

羅伯達(Loboda)人住在諾曼比(Normanby),巴布亞新幾內亞較大島嶼東面的一個小島。他們使用身體的部分來計數,例如在他們的語言中,「6」的字面意思就是「一隻手再加上另外一隻手的一根手指頭」。但是並沒有什麼用處,因為在我們用到數字的情況下,他們覺得沒有理由需要這麼做。

以貨幣為例,我們用錢來買東西,每件物品都有一個數字代表的價錢。羅伯達人也有貨幣:硬幣和紙鈔,他們可以用來交換歐元或英鎊,但是不能在社交場合中以金錢作為禮物。他們收到一份禮物,稍後必須要回贈完全一樣的禮物;如果鄰居在一個場合中送給他一籃番薯,他必須在後續場合中回贈一籃一模一樣大小的番薯。不能是金錢或其他同等價值的東西,必須是數量剛剛好的番薯。

對我們而言,「數量剛剛好」是指番薯的數目一樣多,羅伯達人從來不數籃子裡番薯的個數,他們只是大約估計一下。他們看看籃子是全滿,還是半滿。如果沒有全滿,你可以多少再加一些,讓它看起來沒有什麼差異。

其他的情況中,羅伯達人也不用數字。當我們談到年紀、長度或時間時,很快就會訴諸數字:幾歲,幾公分或幾英吋長,或幾分鐘前發生了什麼事。羅伯達人當然也談論這些事,但他們會通過與他們熟悉的東西做比較,來描述某個東西有多長,例如一條鍊子是前臂的長度。聽起來類似我們的英呎(foot),只不過並不是用來作量度的單位。對他們而言,兩腳長或兩前臂長都是無稽之談,如果東西比一個前臂還長,他們就和其他的東西作比較。

描述某個人的年紀,羅伯達人會說跟嬰兒、孩童等一樣大。時間的描述也一樣,例如,需要的時間和從村子到下一個島的旅程一樣久。沒有數字,他們也活得好好的。

巴布亞新幾內亞的另一個部族尤普諾人(Yupno)對此絕對表示同意。他們的村落在瑪當(Madang)省2,000多公尺的山上。和羅伯達人一樣,他們也用身體的部分來做計數。要表達一個數字,就說出對應的身體部位的名稱或者指一指那個部位。這種計數系統對男性來說沒什麼困難,但有些部位對女性而言就有點尷尬了。

尤普諾人的計數系統

尤普諾人也會用枝條來計數,一次一條的放下。因為他們居住的地方並不那麼偏僻,部族裡大多數的年輕人都受過一些西方教育,他們用類似英語的巴布亞皮欽語來數數。

尤普諾人因此有三種計數的方法,但卻不是經常使用。他們給每樣東西一個固定的價值,但並非以多少個硬幣來表示。他們把貨品擺成一堆堆,每堆價值都是一枚10托伊的硬幣,托伊是巴布亞新幾內亞的貨幣中較小的單位。一堆菸草要比一堆食物之類的來得小堆,你不能只買一根香蕉,你必須買和那枚硬幣一樣價值的一堆香蕉。這讓他們免於找零的麻煩,因此幾乎不怎麼需要計數。

不過有個非常重要的例外,那就是嫁妝。尤普諾人的嫁妝主要是豬隻和金錢,而他們有兩種計算方式。他們大聲地數,有些用身體部位,有些則用枝條。這麼一來就免除了混淆,畢竟每個人計數的方式不同。例如,如果由手直接就到耳朵,那麼右耳表示12,而不是圖中所示的22。這個時候,枝條就是個追蹤記錄的好方法。

既然尤普諾人花那麼大力氣數清楚嫁妝,研究人員想或許可以利用嫁妝來教他們數學。他們問部族裡的一個老人,「你需要19頭豬來作嫁妝,你已經有了8頭,你還再需要幾頭?」答案出人意料之外:「朋友啊,我沒錢再買一個老婆了。我到哪裡去找那8頭豬?再說,我也老了,沒那個精力了。」

量度沒有必要!

總而言之,這些部族不使用數字,也能存活。可是,難道他們量度東西也不需要數字嗎?他們難道不需要起碼懂點數字、長度、距離來建造東西或找到道路?顯然沒這個需要。皮拉罕人、羅伯達人、尤普諾人,還有很多其他文化,不靠數學也能做這些事。

有一些巴布亞新幾內亞的部族會建造獨木舟。由於這個國家就是由島嶼組成,他們也沒有別的選擇。至少在以前,這是他們由一個島到另一個島唯一的旅行方式。尤普諾人居住在山上,他們沒有這個需求,但是沿著海岸的部族就需要堅固的船隻,才不至於在海上突然沉沒。他們建造時,沒有標準量度的藍圖,以及樹幹厚度的規定,他們靠的是經驗,把新建的獨木舟和從前的作比較。

他們以簡單的量度方式來支持他們的經驗,不是捲尺或直尺,而是前臂,或者像基里維納群島 (Kiriwina islands)上的人們,用的是姆指及手掌。這讓基里維納群島上的人們在量度上更為精確。也該如此,因為這些島嶼很小,人們多半時間都在海上,因此他們對量度獨木舟十分謹慎,雖然他們從不改變基本形狀。

比起獨木舟的大小及形狀,更為重要的是木頭的厚度。如果太薄,很容易受損;太厚,則獨木舟的載重量就減少。巴布亞新幾內亞的部族並非用什麼精確的方法來測量木頭的厚度,他們有些用腿,有些發現可以用快速的一擊,聽出木頭是否夠厚,因而獨木舟是安全的。通常在下水之前,他們並不知道獨木舟的載重量。

島上還是需要建造各式各樣的東西,例如跨過河流或山谷的橋梁。顯然你在事前無法測試一座橋,或從它的形狀判斷它是否安全。這些人如何知道一座橋是否足夠堅固,還是一個謎。他們這麼做,已經有很長的時間了,沒有人記得他們的祖先是如何開始這麼做的。

科瓦比人(Kewabi)住在主島中部,他們完全不靠精確的度量,就能建造橋梁。他們估計從河流一岸到另一岸的距離,找尋看起來夠長的樹幹,承擔橋梁重量的柱子也是這麼選的。就像舊金山的金門大橋,靠的也是柱子及纜索,這些柱子伸出橋面。然後他們得用夠長、夠粗的繩索,等等。科瓦比人憑藉良好的估計能力及累積的經驗,在建造橋梁方面毫無問題。

許多巴布亞新幾內亞的部族也靠著結合估計和經驗,建造他們的住家。然而,他們的做法差異甚大,例如有些建造方形的房子,有些只建圓形的。

卡得人住在巴布亞新幾內亞東部的芬什港,他們建造的房子是長方形的。他們先做出兩條繩子,一條是房子的長度,一條是寬度。當他們收集建築材料時,就用繩子來看是否足夠了。這樣省了不少事,也不用砍伐比需求還多的樹。

並不是所有的部族都是精確的建築者。瑪當省的一個部族建造時不用繩子,也不用其他輔助測量的工具。他們有他們的標準流程:先在一個長方形中豎起9到12根柱子,差不多等距排列,作為房子的基礎。然後只憑他們的估計能力,在柱子上建造房子,。

卡韋夫村(Kaveve)中的人,也把房子建在柱子上,不過是圓形的。入口是一個圓孔,就在圓形地板的邊緣,中間留有火爐的空間。他們用繩子來制訂出兩個圓的大小。圓孔入口要盡量的小,以防氣流。因此他們丈量村子裡最胖的人,只要他能夠穿過,那就足夠了。卡韋夫的人的確用到度量,不過範圍非常侷限。沒有人計算需要多少木料,也不管面積是多少,他們就收集建材,憑著直覺進行建造。繩子告訴他們每樣東西要有多大,僅此而已。不靠數學,也能蓋房子、造橋梁和獨木舟。

處理小數量

因此,有各種不同文化,幾乎不使用數學。就算會用,就算有數字系統,他們也沒有使用的需要。他們能夠相當準確的估計長度和數量,這樣就省了很多時間和麻煩。可是,這怎麼可能呢?是什麼讓我們不用數學而能夠進行貿易、供給食物、建造橋梁?最近幾十年,科學已經找到這個問題的答案。我們使用大腦的某個部分來處理數量。這就是為什麼就算我們從沒學過其背後的數學原理,還是能夠估計長度,或識別正方形。

大腦中處理數量的部分可以清楚地分為三個部分。第一部分處理小於4的量,也就是說,我們可以馬上看出1個蘋果和2個蘋果的差異。另外一部分處理較大的數量,第三部分則是對幾何圖形的認知。這就是以前從未看過地圖的人,怎麼會利用它來規劃由A地到B地路線。

即使是嬰兒時期,我們也能輕鬆地處理小數量。我們天生就能分別1和2。當然,指的不是這兩個數字,而是一個東西和兩個東西。例如,如果嬰兒看著畫有一個點的一張紙一段時間後,突然看到一張畫有兩個點的紙,會露出驚訝的神情。他們的驚訝神情顯示出他們明白他們看的是另外一個東西。科學家可以由嬰兒觀看那張紙時間的長短,來知道這件事。嬰兒很快就會對同一個影像失去興趣,但是如果是不同的影像,就會觀看久一點。

這讓研究人員能更深入探索嬰兒對周遭世界的期待,而且得到了令人驚奇的結果。例如,嬰兒似乎已經知道加減。如果你給嬰兒看了兩個洋娃娃,然後拿走一個,嬰兒期待只會有一個剩下。如果開始有兩個洋娃娃,拿走了一個,居然還有兩個洋娃娃在那裡,嬰兒就會很驚訝。在他們學習數學之前,顯然已經知道2 1 =1而非2。

當然,嚴格說來,這並不正確。我們現在知道令嬰兒驚訝的是,有一個洋娃娃突然出現,而他們之前全然不知。如果他們看到1 + 1 = 1,同樣會覺得驚奇。這時候他們的驚訝是一個洋娃娃不見了,而他們居然不知道。這是因為我們大腦中有一個部分追蹤記錄事物,像是什麼顏色、多大之類的。當我們專注在某個事物上時,我們會記錄那個事物,嬰兒也是一樣,因此他們會注意到某樣東西突然不見了或突然出現在他們確定之前並無東西的地方。

我們的腦子只能這麼詳細地記錄很少數量的東西,對嬰兒來說最多是3個,超過這個數目,他們就很困惑了。在一個實驗中,嬰兒需要從兩個東西中選擇一個。他的左邊是一個盒子,裡面有1塊餅乾。他們目睹餅乾放進盒子裡,因此他們知道是有1塊。他們右手邊的一個盒子裡有4塊餅乾,他們也看到餅乾被放入。那麼,他們會選哪一個盒子?他們會爬向哪一邊?

說也奇怪,他們並不是永遠選擇右邊的盒子。我們一般會認為能分辨1塊餅乾和3塊餅乾差異的嬰兒,應該能夠分辨1塊和4塊的差異,事實上並非如此。如果右邊的盒子裡有4塊餅乾,他們完全不清楚哪一個盒子的餅乾比較多,他們只是隨便的選。大腦中分辨小數目的部分超載了,於是放棄了。在22個月大之前,幼童並不能分辨1和4的差異。

22個月左右的突破性發展,不是因為大腦突然能夠同時處理四樣事物。成年人或許能夠做得到,但即便如此,同時追蹤四樣事物也是一種挑戰。我們並不知道究竟是什麼原因,或許是和語言有關。如果孩子的母語區分單數和複數,他們就能更快掌握1與4的差異。例如,日本的孩子要花較長的時間來分辨這種差異,因為日文中並沒有單複數的分別,但稍後他們就會追上。而說荷蘭語、德語的孩子,要花更長的時間學會比10大的數字;德文中,24讀成「四和二十」,而日文和英文一樣,讀成「二十和四」,這讓孩子在成長時,能夠明白數字如何進展。在法文就更困難了,九十讀成「四個二十加十」。

因此語言對數字學習相當重要,不過,最重要的還是分辨一個東西和多個東西,或許這就是孩童學會「一」這個詞含義的基礎。孩子們會順口溜的念著「1, 2, 3」等等,但是當你叫他給你一個玩具時,他就給你隨便一個數目的玩具,不管你教他一個一個的數了多少遍。

這就是我們如何由與生俱來的知識累積更多知識的方式。當我們學會了「一」的意思時,我們也學會了「二」就是「一和另外的一」。這一切之所以可能做到,最終還是因為我們大腦中管理小數