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用貝氏定律預測罹患乳癌的機率
有一個看起來非常簡單，但是應用非常廣的公式叫做「貝氏定理」（Bayes Theorem），貝氏定理是遠在十八世紀（1701～1761），一位英國數學家，也是一位牧師貝葉斯提出的，這個定理說：
P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)，
也就是
其中的P(A)和P(B)叫做「事前機率」（Prior Probability），
P(A|B)和P(B|A)叫做「事後機率」（Posterior Probability）。
說得更清楚一點，P(A)和P(A|B) 是在B發生以前和以後A會發生的機率，
P(B)和P(B|A) 是在A發生以前和以後B會發生的機率。
憑直覺，大家會想到，P(A)、P(B)、P(A|B)和P(B|A)這四個數值，彼此之間是有一個相連關係的。比方，按照統計的數據，四十歲以上的女性，每1000個裡，有14個會患乳癌，換句話說，用A代表一個四十歲以上的女性患乳癌這個事件，那麼P(A)=0.014。用X光檢查乳癌的可能是醫學上相當普遍的一個做法，按照統計每1000個女性做X光檢查，有100個的結果是肯定的（肯定表示有乳癌），用B代表一個四十歲以上的女性做X光檢查結果是肯定的這個事件，那麼，P(B)=0.1。
光從直覺來看P(A)=0.014，P(B)=0.1這兩個數字，我們會說，X光檢查是相當籠統的，因為在1000個人中只有14個人患乳癌，但是X光檢查有100個人的結果是肯定。不過，讓我們比較仔細一點地分析，按照統計，一個患有乳癌的病人，用X光檢查得到肯定的結果的機率是0.75，換句話說P(B|A)=0.75，那麼根據貝氏定理：
換句話說，如果X光檢查的結果是肯定的話，病人的確患乳癌的機率只是0.105，這個數字比一般直覺的估計低很多。
假如我有全部的資料，把它攤開來如下：
1000個人裡有14個人患乳癌，剩下來是986人沒有患乳癌，用X光檢查的結果有四個可能：
患乳癌而且檢查的結果是肯定的，有10.5個人
患乳癌而且檢查的結果是否定的，有3.5個人
沒有患乳癌而檢查的結果是肯定的，有89.5個人
沒有患乳癌而檢查的結果是否定的，有896.5個人
那麼，所有的機率就都可以直接算出來了：
貝氏定理可以用來從已知的事前機率算出未知的事後機率，更重要的是，在有更多新資訊的情形之下，事後機率又可以被視為新的事前機率，再用貝氏定理算出新的事後機率。
在我們上面的例子，P(A)=0.014是一位過了40歲的女性患乳癌的事前機率，P(A｜B)=0.105是一位過了40歲經過X光檢查結果為肯定的女性患乳癌的機率。為了避免符號上的混淆，我們用C代表X光檢查的結果是肯定而且的確患了乳癌這個事件，P(C)代表這個事件發生的機率，也就是說，P(C)=P(A | B)=0.105。假設一位X光檢查結果是肯定的女性去做一次血液檢查，那麼我們怎樣分析血液檢查的結果呢？用D代表一位40歲以上的女性做血液檢查結果是肯定的這個事件，用P(D)代表這個事件發生的機率，譬如說P(D)=0.2，換句話說，每100個四十歲以上的女性檢血的結果有20個是肯定的。假設我們知道P(D|C)=0.9，那就是說一個患有乳癌而且經過X光檢查確定的人，檢血的結果是肯定的機率是90%，那麼
換句話說，如果血液檢查的結果是肯定的話，那麼用X光檢查的結果是肯定而且的確患乳癌的機率是0.4725，在這裡我們又看到P(C)是事前的機率，P(C|D)是事後機率之間的關係。（在這裡事前、事後是指血液檢查的事前、事後）
讓我在這裡指出兩個要點：
第一、許多人會誤解「X光檢查結果是肯定的話，患乳癌的機率只有0.105」那句話，以為那就不必做X光檢查了，這個誤解忘記了X光檢查以前，患乳癌的機率是0.014，X光檢查的準確率是75%（14個人患乳癌的人有10.5個人的檢查結果是肯定的），因此如果X光檢查結果是肯定的話，患乳癌的機率提高到0.105，再加上血液檢查的準確率是0.9，所以兩個檢查的結果都是肯定的話，患乳癌的機率就從0.014提高到0.4725。
第二、我的數據只是合理而不是真正的統計數字的數據，只能當作教科書上的例子來看。
讓我們倒過來，先做血液檢查，然後做X光檢查，讓A代表四十歲以上的女性患有乳癌這個事件，P(A)是這個事件發生的機率，我上面講過P(A)=0.014；讓D代表驗血結果是肯定這個事件，P(D)=0.2；我們知道P(D|Ａ)，那就是患乳癌的病人經由血液檢查結果是肯定的機率是0.9，那麼根據貝氏定理我們可算出：
也就是說先做血液檢查，如果血液檢查的結果是肯定的話，患乳癌的機率只是6.3%。如果血液檢查的結果是肯定的話，再做X光檢查，讓E代表血液檢查結果是肯定而且的確患了乳癌這個事件，也就是說P(E)=P(A|D)=0.063。同時，P(B)=0.1，P(B|E)=0.75，
可見，先做X光檢查後再作血液檢查，或者是先做血液檢查後作X光檢查，如果兩個結果都是肯定的話，那麼患乳癌的機率都是0.4725，換句話說，檢查的先後次序是沒有分別的。
再看統計數據，在1000人中有14個人患乳癌，但是根據X光檢查有100人的結果是肯定的，血液檢查有200人的結果是肯定的，我們可以看出，兩個檢查都是採取寧枉勿縱的態度，換句話說，把有病的門檻定得比較低，而且相對來說血液檢查有病的門檻又比X光檢查有病的門檻還要低。
看醫生划不划算？
講到這裡，我們只把診斷的結果講完，接下來的問題是，當我們知道了診斷的結果，我們要採取什麼行動，這就是「決策論」中有了資訊後，該怎樣下決定的問題了。讓我們就用X光檢查的結果是肯定的做為資訊，我們的決策是去看醫生，還是不去看醫生，當然，去醫生和不看醫生代價除了費用之外，還包括工作、生活及壽命的影響。
讓我們假設：
1.患有癌症，找醫生治療，費用是不少的，就算代價是10,000元吧。
2.沒有癌症，還是去看醫生，費用比較少，就算代價是2,000元吧。
3.患有癌症，卻不去看醫生，那可能冒一個相當大的險，就算代價是400,000元吧。
4.沒有癌症，不去看醫生，那麼費用就是出去慶祝，吃一頓大餐的價錢是300元吧。
但是，我們並沒有是否確實罹癌的數據，確切的數據只有X光檢查的結果。首先我們記得X光檢查結果是肯定的話，患癌症的機率是0.105，沒有患癌的機率是0.895，因此如果X光檢查的結果是肯定的話，我們決定去看醫生的代價是：
10,000×0.105+2,000×0.895=2,840，
決定不去看醫生的代價是：
400,000×0.105+300×0.895=42,268，
相形之下，我們當然應該選代價比較小的決定，那就是去看醫生。
反過來說，假設X光檢查的結果是否定，站在決策的立場，我們還是要決定去不去看醫生，首先在已知X光檢查的結果是否定的前提下，患癌症的機率是
 ，
沒有患癌症的機率是：
1－0.003888 = 0.996112
那麼，決定去看醫生的代價是：
10,000×0.003888+2,000×0.996112=38.888+1992.224=2031.112
如果不去看醫生的話代價是：
400,000×0.003888+300×0.996112=1555.20+298.8336=1854.0336
相比之下，看醫生的代價還是比不看醫生的代價高一點點，所以決策是：不去看醫生。
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