第六章 函數與極限
簡介
1.變數與函數
1.定義和實例 2.角度之衡量:弧度 3.函數之圖形/反函數 4.複合函數 5.連續 6.多個變數的函數 7.函數與變換
2.極限
1.序例 的極限 2.單調序例 3.一個尤拉數: 4.圓周率 5.連分數
3.得自連續逼近之極限
1.簡介/一般的定義 2.關於極限概念之論述 3. 之極限 4.隨 之極限
4.連續之嚴格定義
5.連續函數的兩個基本定理
1.波爾扎諾定理 2.波爾扎諾定理之證明 3.關於極值之維爾斯特拉斯定理 4.關於序列的一個定理/緊緻集合
6.波爾扎諾定理之應用
1.幾何學的應用 2.一個力學問題的應用
7.更多關於極限的範例
1.通論 2. 之極限 3. 之極限 4.作為連續函數之極限的不連續函數 5.由迭代過程所出之極限
8.關於連續的範例
第七章 極大與極小
簡介
1.基本幾何問題
1.兩邊邊長為已知的三角形之極大面積 2.海龍定理/光線之極值特性 3.海龍定理在三角形問題上的應用 4.橢圓與雙曲線之切線性質及相應之極值性質 5.從一點到一已知曲線的極端距離
2.極值問題之基礎:一個普遍原理
1.原理 2.例題
3.平穩點與微分學
1.極值與平穩點 2.多個變數的函數之極大與極小/鞍點 3.最小的極大點與拓撲學 4.從一點到一個表面的距離
4.施瓦茲的三角形問題
1.施瓦茲的求證方法 2.不同的證明方法 3.鈍角三角形 4.由光線構成的三角形 5.反射與遍歷運動的相關問題之論述
5.斯坦納問題
1.問題與解答 2.兩種抉擇的分析 3.一個補充問題 4.特徵與運用 5.街道網路問題的推廣
6.極值與不等式
1.兩個正值變量的算術平均數和幾何平均數 2.推廣至 個變量 3.最小平方法
7.極值之存在性/狄利克雷原理
1.緒論 2.例題 3.初等極值問題 4.較高層次的難題
8.等周問題
9.結合邊界條件的極值問題/斯坦納問題與等周問題的關聯
10.變分法
1.簡介 2.變分法/光學的費馬原理 3.伯努利對最速降線問題的處理方式 4.球面的測地線/測地線與最大的極小值
11.極小問題的實驗解決/肥皂膜實驗
1.簡介 2.肥皂膜實驗 3.關於柏拉托問題的新型實驗 4.其它數學問題的實驗解答
第八章 微積分
簡介
1.積分
1.面積:一個極限 2.積分 3.積分概念的一般特徵和定義 4.積分的實例/ 的積分方法 5.「積分」規則
2.導數
1.導數:一個斜率 2. 導數:一個極限 3.例題 4.三角函數之導數 5.微分與連續性 6.導數與速度/二階導數與加速度 7.二階導數的幾何意義 8.極大值與極小值
3.微分的技巧
4.萊布尼茲的標誌法與「無窮小」
5.微積分基本定理
1.基本定理 2.初步應用: , , , 之積分 3.萊布尼茲為 提出的公式
6.指數函數與對數
1.對數之定義與性質/尤拉數: 2.指數函數 3.關於 , , 之微分公式 4.以 , , 和為極限之顯式表示公式 5.對數之無窮級數及其數值計算
7.微分方程
1.定義 2.指數函數之微分方程:放射性衰變、成長定律、複利 3.其它例子/最簡單的振動問題 4.牛頓的動力學定律
8.原則性問題
1.可微性 2.積分 3.積分概念的其它應用:功、長度
9.數量級
1.指數函數與 的冪數 2. 之數量級
10.無窮級數及其乘積
1.函數之無窮級數 2.尤拉公式: 3.調和級數與函數。尤拉關於正弦的乘積
11.得自統計方法的質數定理
第九章 數學在近代的發展
1.關於質數的一個公式
2.哥德巴赫猜想與孿生質數
3.費馬最後定理
4.連續統假設
5.集合理論的標誌方法
6.四色定理
7.豪斯朵夫維數與碎形
8.紐結