|
▼
書摘 2
為什麼一加一等於二？
1974年費爾茲獎得主 彭比耶利
有一天隔壁雜貨店的老闆想到一個好點子。他把裝滿糖果的玻璃罐放在店門口的桌上，並許下承諾：「誰能猜出罐子裡的糖果有幾顆，就把整罐糖果送給他！」因為我是一個數學家，所以不只希望用「猜」的，而想確實「算」出罐子裡的糖果數目。
怎麼算呢？
我用目測的。先估計每顆糖果的大小，再推估糖果之間的空隙有多大，以及整個玻璃罐的大小。有了這些數字之後，我就可以約略算出糖果的數目。可惜，我算出的答案離正確數字太遠了，而其他顧客也好不了多少。
人類的眼睛很容易看出水果籃裡到底有四顆還是五顆蘋果，但是遇到十個以上的物品時，我們就無法一目了然。我們絕對不可能一眼就猜出罐子裡的糖果數目。同樣地，我們也很難用目測算出糖果之間的空隙有幾公釐，必須用特別的儀器才能量得出來。
雖然，我沒有猜出正確的糖果數，無法抱走整罐糖果，但這是一個很好的例子，讓你們了解數學家是如何解決問題的：我們先找出重要的基本單位，以及這些基本單位之間的關連性，這樣就可以簡化問題。糖果的大小、空隙的距離及玻璃罐的體積，這三項就是基本單位，然後再找出這三個數字的關連性，以這三個數字為基礎才能估算糖果數量。
數字的骨牌遊戲
整個數學領域都與這類思考方式有關。一切都源自於「數」。雖然「數」對我們來說是再自然不過的事了，但是，你看出它背後所隱藏的重要原則了嗎？
什麼是「數」？
為什麼1＋1＝2？
想知道答案之前，先得仔細觀察，你是怎麼處理數的。你怎麼估算罐子裡的糖果數？你先拿一顆糖果出來放在桌上，然後再拿另一顆糖果放在它的旁邊，若這時你問：「我一共拿出幾顆糖果？」
我會毫不猶豫地回答：「兩顆！」我們自然而然地把這兩顆糖果算在一起，這就是1＋1＝2。
從一個物品變成兩個物品，我們所邁出的這一步就是「數的基礎」。跨出這一步之後，我們就可以繼續進行下去。你從罐子裡再拿出一顆糖果，這下子就成了2＋1＝3。
「算術」的原來意義就是，不斷把一個數字擺到前一個數字上面。簡要地說明這個數字原則：從「1」個單位開始，把1加上去，等於2，再把1加上去，等於3……如此一直下去。
數學家們把2稱為1的「下個數」，3是2的「下個數」等等。「1＋1＝2」是一個確定的算式，它同時在說：「2是1的下個數」。除了「下個數」原則，算術還有其他規則。例如，你可以先算2再加上3，也可以先算3再加上2，數字的順序對結果沒有影響，用這兩種方法你最後都會得出五顆糖果。這個原則用數學公式（語言）表示則是：
2＋3＝3＋2。
如果我們了解算術的基本規則，就能進一步導出其他規則。例如我們可以導出2＋3＝5這個數學式，這就是說，我們可以用算術的基本規則證明出2＋3真的等於5。證明的過程我在本文結尾再告訴你們。
你現在一定想問：「我們為什麼要證明2＋3＝5這麼簡單的事呢？」嗯，你的質疑並非沒有道理，因為沒有人會極力主張：「2＋3＝6」。雖然如此，依照我們數學家的經驗，有些「理所當然」的事，還是應該和難解的習題一樣經過驗證。
數學裡有許多理論架構，各理論之間緊密相連，一旦發現其中一個錯誤，它們就會如同骨牌遊戲一樣，接二連三地倒下來，一併拖垮相關理論。
數學就是這麼嚴謹！
跨出每一小步都必須有足夠的理由，否則可能成為一顆危險的不定時炸彈。為了防止這種不幸的意外發生，過去三千年的數學發展史中，數學家為這門科學發明了獨特且精確的語言。感謝這類數學語言，全世界的數學家才能檢驗彼此的研究成果。不過，檢驗的過程通常十分漫長而艱辛，有些數學證明甚至長達數百頁。
「數字巨獸」的長相
如此專門的數學語言也有一些缺點：它會讓外行人望之卻步，因為根本搞不懂它在說些什麼。如果和不同研究領域的同事談話，甚至連數學家自己都會有隔行如隔山的感覺。數學的涵蓋領域非常遼闊，沒有人能夠完全掌握。
幸好，還是有一些簡單而有趣的數學問題，不會讓你們覺得太無聊！例如，有沒有一個數大到沒有數比它還大？答案是：「沒有！」因為你永遠都可以在數後面加上一個1，然後就會得到比原來大的數。所以，數從1，2，3……一直下去，無窮無盡。
數的無窮性會導致一個特別的現象：我們無法寫出一個最大最大最大……的數，即使你想破頭也想不出簡寫的方法。在宇宙中，沒有這麼大張的紙，也沒有這麼多的墨水，讓你寫出這個大到無限的數。我們也想像不出到底這隻「數字巨獸」有多龐大！大家也許相信有「數字巨獸」，但卻不知道牠長得什麼樣子。
除了「數字巨獸」之外，數學還有其他好玩的問題。看完「最大」之後，讓我們來看看「最小」。趕快去找一把尺。尺上每一公分都被分為十等分，每一等分叫做一公釐。這個分割原則就是「十進位系統」。我們寫數字的時候，用的也是十進位系統：從0到9總共有十個數碼，它們是一切數字的基礎。2001年的2001，和十進位小數點0.333333……（把一除以3所得的結果）都是這些數碼的排列組合。
好，現在把一公釐再分成十等分，每一等分再分成十等分，如此永遠繼續下去。「啊，怎麼辦！停不下來了！」你發現了吧，利用簡單的「分成十等分原則」也會像「數字巨獸」一樣，導出更複雜的問題。
幾百年來，數學家們不斷致力於擴大數的空間。他們因而發現了一個數學的重要原則：不管我們怎麼描述一種東西，例如長度吧，你可以用代數的0.5來表示，或用幾何方式的1：2來表示，這些數學描述都只是一種「標誌」，而不是事物本身。就像你女朋友的照片只是她的圖像，而不是她本人。
然而，你卻可以透過正確的描述或測量來認識一項事物或一個人。如果我問你：「那堆人當中，有一個打著紅領帶、拿著黃色書本的是誰啊？」你馬上就會知道我指的是哪一個人。相反地，如果我只問：「那個穿長褲的人是誰？」你就很難從一堆男生當中找出我所說的人。
若你繼續研究數學問題，很快你就會發現，在數學中，單獨的事物並不重要，數學的重點在於找出不同事物之間的關係，也就是「數學關係」，而事物本身反而不是目標。我認為，數學就是在研究「關係」。所以，數學家整天埋頭於藏滿了「關係」的數學公式裡，他們必須找出哪些「關係」是最基本的，是其他「關係」的基礎。於是，在本文一開始，我們便追根究柢地探討1，2，3這些數的「關係」結構。
土星外圍光環的秘密
在這趟抽象的數學之旅結束後，讓我們來看一個具體的例子：各種不同的事物可以擁有相同的數學關係。你一定曾在電視或雜誌上看過土星光環的照片吧！這個光環是由許多小石塊和冰塊所組成，它們不停地圍繞在土星外圍旋轉。
一百多年前法國數學家拉普拉斯（Laplace）首先發現這個光環，他覺得很奇怪：「為什麼光環不會掉下來？」拉普拉斯研究並計算土星光環的穩定度，發明了今天我們熟知的「拉普拉斯方程」，這是一條描述平衡狀態的數學公式。
之後，人們發現「拉普拉斯方程」不只在天文學扮演重要的角色，若我們想要鋪設一條電話網路，以增加生活的便利時，也會用得到「拉普拉斯方程」。你現在心裡一定在想：「電話線跟土星有什麼關係？」
我告訴你們：「一點關係也沒有！」
不過，描述電話網路功能和土星光環平衡的數學語言卻完全一樣，兩者都是「拉普拉斯方程」的忠實信徒。這不是很有趣嗎？
質數的未解謎題
四十年來，我一直想要解開一個謎題，這個謎題跟所謂的「質數」有關。「質數」就是只能被1和它自己整除的數。2，3，5，7，11都是質數，你算算看就知道了。所有的偶數，除了2之外，當然都不是質數，因為它們都可以被2整除。不過，9也不是質數，它可以被3整除。所有的質數都是奇數，喔，我差點忘了，2是所有質數中唯一的偶數。此外，我還可以證明，質數有無限多個！
為什麼我覺得質數特別有趣呢？因為它們是所有數的基礎：每個數都是質數的乘積，古時候的希臘哲人早就知道了。也就是說，我們可以把每個數化簡成幾個質數的乘積。例如，25×33＝5×5×3×11。
再回想一下有關數1，2，3……的簡單法則：從1開始，每次加上一個1。類似的法則對質數可不適用：從2開始，然後是3，5，7，11，13，17，19，23……。如果你隨便找出一個質數，想要用特定規則馬上算出下一個質數，很抱歉，要讓你失望了。我們可以列出一張質數的表，但是，每個數都必須經過計算、檢驗，看看它除了1和自己之外，還能不能被其他數字除盡，這實在不是件容易的事。不過，這並不是「法則」。
說到這裡，我們再回憶一下前面提到的「數字巨獸」。光是要在四十位數的「小」巨獸之內，算出所有的質數，你就得花上一輩子！不過，智慧型的電腦程式卻能夠在很短的時間內辦到。所以，很大很大的質數，就能當成網際網路的銀行劃撥密碼。
也因為質數很難被掌握，所以它很適合為消息傳遞加密。質數能夠在一般商業交易上扮演如此重要的角色，我這個數學家作夢也想不到。
比列出所有質數數列更有挑戰性的是回答這個問題：某個數之後出現質數，是純屬巧合還是有規則可循？很久以來，許多優秀的數學家就在尋找這個法則。一百五十年前，德國數學家黎曼（Bernhard Riemann）猜測出這個法則，但至今仍沒有人可以證明他的假說。
即使如此，大部分數學家還是相信黎曼假說是正確的。為什麼「黎曼假說」這麼難以證明呢？這是一個「秘密」。我也在嘗試解開這個謎題。不過，越來越多的跡象顯示，在這個謎題背後隱藏著許多新的基礎知識。所以，質數問題被視為數學領域中最重要的「未解謎題」。
數學是座遊樂園
這個讓許多資深數學家恨得牙癢癢的難題，對於年輕人來說，當然是一種有力的動機，吸引他們投入數學研究的行列。一旦找出解答，他們便能夠在思想上開創出無限的可能性。不過，每一個步驟都必須符合數學原理，否則還是徒勞無功。
這就像藝術一樣。畫家第一次學習繪畫技巧時，他就必須自己決定，他想用畫筆在畫布上表現什麼，不想表現什麼。
「什麼是數學的技巧呢？」也許你現在想問。這個問題我用前面答應「表演」給你們看的數學證明來解釋。我們現在要證明2＋3＝5這個論點。想要證明2＋3＝5，其實只要證明2＋3＝4＋1就可以了，因為4＋1代表4的下個數，也就是5。
這項證明一共有三個步驟。我們知道，2是1的下個數，等於1＋1；而3是2的下個數，等於2＋1。所以，我們可以把2＋3寫成（1＋1）＋（2＋1），括號在這裡提示我們，括號內的算式必須先運算。第二步，我們必須把剩下一個2用1＋1取代（因為2是1的下個數），然後會得出（1＋1）＋（（1＋1）＋1）。最後，我們要利用另一個算術規則：算式中括號的位置可以調換。於是，我們就可以把（1＋1）＋（（1＋1）＋1），改寫成（1＋1＋1＋1）＋1。證明到此已經完成了。因為1＋1＋1＋1＝4，所以2＋3＝4＋1，也就是4的下個數。
很多人不喜歡這麼嚴謹，就像這題數學證明一樣。但也有些人喜歡進行邏輯思考。若你屬於喜歡邏輯思考的人，就必須多看一點有趣的書，刺激你繼續探討比1＋1＝2還要深入的問題。
「數學」就像一座種著各類奇花異草的花園，值得你好好觀賞。但是，千萬別忘了，所有科學都一樣，它們都不是生命的全部。世界上還有一些更重要的事情，其中最重要的就是「人性」。我是一個聽障和智障女孩的父親，雖然她身體殘缺，但她是寶貴的生命奇蹟。我從她身上學到的生命意義，比從數學理論學到的還多得多。她是我生命中最美好的體驗。（記錄：Andre Behr，中文版內容由台大數學系教授翁秉仁審訂）
彭比耶利（Enrico Bombieri）
1974年費爾茲獎（The Fields Medal）得主，
1940年11月26日生於義大利米蘭。
由於在數學領域的傑出成就而獲獎。
該獎項每四年頒發一次，是全球數學界的
最高榮譽獎項，相當於數學界的諾貝爾獎。
他目前在美國新澤西州的普林斯頓高等研究院
數學研究所從事教學和研究工作。
|